Question

若正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，BE=3，M为线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F，且BF=AE,

若正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，BE=3，M为线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F，且BF=AE,则BM的值为？

Answer 1

BM=2.5 ?

Answer 2

解：分两种情况：
①如图，作EF1⊥AD于F1，连接BF1交AE于M1，∵△ABE是直角三角形
∴AE=√(AB²+BE²)=5

∵∠BAF1=∠ABE=∠BEF1=90°
∴四边形ABEF1是矩形
∴BF1=AE=5，且M1是BF1的中点
∴BM1=5/2

②在DC上取一点F2，使CF2=BE=3，连接BF2，交AE于M2，

∵AB=AC,∠ABE=∠BCF2，BE=CF2
∴△ABE≌△BCF2（SAS）

易知BM2⊥AE∴BM是高
∴AE×BM2=AB×BE
算出BM2=12/5

Answer 3

∴BM=
5/2，或者12/5

解：如图，当BF如图位置时，
∵AB=AB，∠BAF=∠ABE=90°，AE=BF，
∴△ABE≌△BAF，
∴∠ABM=∠BAM，
∴AM=BM，AF=BE=3，
过点M作MS⊥AB，由等腰三角形的性质知，点S是AB的中点，BS=2，SM是△ABF的中位线，
∴SM=
3/2，
∴BM=
5/2，
当BF为BG位置时，易得△BCG≌△ABE，
∴BG=AE=5，∠AEB=∠BGC，
∴△BHE∽△BCG，
∴BH：BC=BE：BG，
∴BH=12/5
．

BM=12/5
．