Question

是surftheInternet还是surfontheInter

Answer 1

　　surf the Internet 或者surf on the Internet都可以。
　　因为surf既可以是及物动词也可以是不及物动词。
　　surf
　　英 [sɜːf] 美 [sɝf]

　　n. 海浪，拍岸浪
　　vt. 在…冲浪
　　vi. 作冲浪运动
　　n. (Surf)人名；(英)瑟夫

　　surf the Internet
上网；上网冲浪；网上冲浪；浏览因特网
Do you ignore it and surf the internet?你会完全无视它，然后继续上网？

surf on the Internet
（在互联）网上冲浪
I find it interesting to surf on the Internet.我发现上网冲浪很有意思。

Answer 2

surf the Internet
上网；上网冲浪；网上冲浪；浏览因特网
Do you ignore it and surf the internet?你会完全无视它，然后继续上网？

surf on the Internet
（在互联）网上冲浪
I find it interesting to surf on the Internet.我发现上网冲浪很有意思。