Question

如图，三角形ABC是边长3cm的等边三角形，动点P,Q同时从A,B出发，分别沿着AB，BC方向匀速移动，它们的速

如图，三角形ABC是边长3cm的等边三角形，动点P,Q同时从A,B出发，分别沿着AB，BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达B点时，PQ两点停止运动。设P的运动时间为t（s），解答下列问题：
1）当t为何值时，三角形PBQ为直角三角形，
2）设四边形APQC面积为Y，求Y于t的关系式；是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是三角形ABC的三分之二？如果存在，求出相应的值；不存在，说明理由：

Answer 1

<1>因为动点P,Q同时从A,B出发，

   所以AP=BQ

   设AP=BQ=x

   则BP=3-x

   若角BPQ是直角

   则3-x=x\2

   x=2，即t=1

   若角BQP是直角

   则3-x=2*x

   x=1,即t=2

<2>BP=t*1=t

   BQ=AP=3-t

   （后面的打不好，发图片给你看）

Answer 2

（1）解：过P作PM⊥BC于M，过A作AD⊥BC于D，
∵三角形ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，BD=CD=

3
2
，由勾股定理得：AD=

33
2
，∵sin60°=

PM
BP
，∴

PM
3-t
=

3
2
，∴PM=

3
2
（3-t），

∴y=S△ABC-S△PBQ，
=

1
2
BC×AD-

1
2
BQ×PM，=

1
2
×3×

33
2
-

1
2
×t×

3
2
（3-t），=

3
4
t2-

33
4
t+

93
4
，即y=

3
4
t2-

33
4
t+

93
4
；

（2）解：分为两种情况：①如图，当∠PQB=90°时，cosB=

BQ
PB
，

t
3-t
=

1
2
t=1，
y=

3
4
×1-

33
4
×1+

93
4
=

73
4
；

②如图，当∠QPB=90°时，cosB=

BP
BQ
，

3-t
t
=

1
2
，

t=2，
y=

3
4
×4-

33
4
×2+

93
4
=

73
4
；答：四边形APQC的面积是

73
4
；

（3）解：不存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二，
理由是：假设存在t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二，
则

3
4
t2-

33
4
t+

93
4
=

2
3
×

1
2
×3×

33
2
，

t2-3t+3=0，
b2-4ac=（-3）2-4×1×3=-3＜0，
此方程无解，
即不存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二．

Answer 3

1)讨论∠BPQ＝90度，∵∠B=60度，∴BQ=2BP,即t=2(3-t)，t=2
∠BQP＝90度，∵∠B=60度，∴BP=2BQ,即3-t=2t,t=1
2)连PC，作CD⊥AB,垂足为D，作PE⊥QC，垂足为E，S△APC=AP×CD÷2=t×(BC÷2×√3）÷2=3/4×√3×t,S△PQC=QC×PE÷2=(3-t)×(BP÷2×√3）÷2=(3-t)的平方×√3/4，Y=S△APC+S△PQC=......，这个自己可以算，Y=2/3×S△ABC=3/2×√3，即.....=3/2×√3，求t，有解存在，无解不存在，最后注意一下若有解求出的解检查是否符合题目要求，t是否大于0小于3，结果我没算哦

Answer 4

1.共有两解：t=1和t=2
2.三角形PBQ加上四边形APQC等于三角形ABC。三角形PBQ用向量法求得