如图,三角形ABC是边长3cm的等边三角形,动点P,Q同时从A,B出发,分别沿着AB,BC方向匀速移动,它们的速
如图,三角形ABC是边长3cm的等边三角形,动点P,Q同时从A,B出发,分别沿着AB,BC方向匀速移动,它们的速度都是1cm/s,当点P到达B点时,PQ两点停止运动。设P...
如图,三角形ABC是边长3cm的等边三角形,动点P,Q同时从A,B出发,分别沿着AB,BC方向匀速移动,它们的速度都是1cm/s,当点P到达B点时,PQ两点停止运动。设P的运动时间为t(s),解答下列问题:
1)当t为何值时,三角形PBQ为直角三角形,
2)设四边形APQC面积为Y,求Y于t的关系式;是否存在某一时刻t,使四边形APQC的面积是三角形ABC的三分之二?如果存在,求出相应的值;不存在,说明理由: 展开
1)当t为何值时,三角形PBQ为直角三角形,
2)设四边形APQC面积为Y,求Y于t的关系式;是否存在某一时刻t,使四边形APQC的面积是三角形ABC的三分之二?如果存在,求出相应的值;不存在,说明理由: 展开
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(1)解:过P作PM⊥BC于M,过A作AD⊥BC于D,
∵三角形ABC是等边三角形,
∴∠B=60°,BD=CD=
3
2
,由勾股定理得:AD=
33
2
,∵sin60°=
PM
BP
,∴
PM
3-t
=
3
2
,∴PM=
3
2
(3-t),
∴y=S△ABC-S△PBQ,
=
1
2
BC×AD-
1
2
BQ×PM,=
1
2
×3×
33
2
-
1
2
×t×
3
2
(3-t),=
3
4
t2-
33
4
t+
93
4
,即y=
3
4
t2-
33
4
t+
93
4
;
(2)解:分为两种情况:①如图,当∠PQB=90°时,cosB=
BQ
PB
,
t
3-t
=
1
2
t=1,
y=
3
4
×1-
33
4
×1+
93
4
=
73
4
;
②如图,敬知当∠QPB=90°时,cosB=
BP
BQ
,
3-t
t
=
1
2
,
t=2,
y=
3
4
×4-
33
4
×2+
93
4
=
73
4
;答:四边形APQC的面尺稿轮积是
73
4
;
(3)解:不存在某一时刻t,使四边形APQC的面积是△ABC面积的陵信三分之二,
理由是:假设存在t,使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二,
则
3
4
t2-
33
4
t+
93
4
=
2
3
×
1
2
×3×
33
2
,
t2-3t+3=0,
b2-4ac=(-3)2-4×1×3=-3<0,
此方程无解,
即不存在某一时刻t,使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二.
∵三角形ABC是等边三角形,
∴∠B=60°,BD=CD=
3
2
,由勾股定理得:AD=
33
2
,∵sin60°=
PM
BP
,∴
PM
3-t
=
3
2
,∴PM=
3
2
(3-t),
∴y=S△ABC-S△PBQ,
=
1
2
BC×AD-
1
2
BQ×PM,=
1
2
×3×
33
2
-
1
2
×t×
3
2
(3-t),=
3
4
t2-
33
4
t+
93
4
,即y=
3
4
t2-
33
4
t+
93
4
;
(2)解:分为两种情况:①如图,当∠PQB=90°时,cosB=
BQ
PB
,
t
3-t
=
1
2
t=1,
y=
3
4
×1-
33
4
×1+
93
4
=
73
4
;
②如图,敬知当∠QPB=90°时,cosB=
BP
BQ
,
3-t
t
=
1
2
,
t=2,
y=
3
4
×4-
33
4
×2+
93
4
=
73
4
;答:四边形APQC的面尺稿轮积是
73
4
;
(3)解:不存在某一时刻t,使四边形APQC的面积是△ABC面积的陵信三分之二,
理由是:假设存在t,使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二,
则
3
4
t2-
33
4
t+
93
4
=
2
3
×
1
2
×3×
33
2
,
t2-3t+3=0,
b2-4ac=(-3)2-4×1×3=-3<0,
此方程无解,
即不存在某一时刻t,使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二.
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1)讨论∠BPQ=90度,∵∠B=60度,∴BQ=2BP,即t=2(3-t),t=2
∠BQP=90度,∵∠B=60度,∴BP=2BQ,即3-t=2t,t=1
2)连PC,作CD⊥AB,垂足为D,作PE⊥QC,垂足为E,S△APC=AP×CD÷2=t×(BC÷2×√悄兄梁3)÷2=3/4×√3×t,S△PQC=QC×PE÷2=(3-t)×(BP÷2×√3)÷2=(3-t)的平方×√3/4,Y=S△APC+S△PQC=......,这个自己可以算,Y=2/3×S△ABC=3/2×√3,即.....=3/2×√3,求t,有解存在,无解不存在,最后注意一下若有解求出尘薯的解检查是否符合题目要求,t是否大于0小于3,结果我没算哦启运
∠BQP=90度,∵∠B=60度,∴BP=2BQ,即3-t=2t,t=1
2)连PC,作CD⊥AB,垂足为D,作PE⊥QC,垂足为E,S△APC=AP×CD÷2=t×(BC÷2×√悄兄梁3)÷2=3/4×√3×t,S△PQC=QC×PE÷2=(3-t)×(BP÷2×√3)÷2=(3-t)的平方×√3/4,Y=S△APC+S△PQC=......,这个自己可以算,Y=2/3×S△ABC=3/2×√3,即.....=3/2×√3,求t,有解存在,无解不存在,最后注意一下若有解求出尘薯的解检查是否符合题目要求,t是否大于0小于3,结果我没算哦启运
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1.共有两解漏卖备:t=1和t=2
2.三角配则形PBQ加上四边形APQC等于三返毁角形ABC。三角形PBQ用向量法求得
2.三角配则形PBQ加上四边形APQC等于三返毁角形ABC。三角形PBQ用向量法求得
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