Question

高数中导数概念问题 大家帮我看一下图片上画红圈、写红字的地方是怎么回事？这种变型是基于什么概念？万

高数中导数概念问题
大家帮我看一下图片上画红圈、写红字的地方是怎么回事？这种变型是基于什么概念？万分感谢！！

Answer 1

证明：
你的证明思路非常混乱，这里给你厘清一下：
分析：原题要分为两步：
1）f'(x0)=0 => |f'(x0)| 存在且为0 （充分性）
2）|f'(x0)|=0 => f'(x0)存在且为0 （必要性）

∵f'(x0)=0，
因此：
lim(x→x0) [f(x)-f(x0)]/ (x-x0) = lim(x→x0) f(x)/ (x-x0) =0

充分性：
f'(x0)=0
考察函数|f(x)|在x0的导数定义：
lim(x→x0) [|f(x)|-|f(x0)|]/ (x-x0)
= lim(x→x0) |f(x)|/ (x-x0)
=lim(x→x0) |f(x)-0|/ (x-x0)
=lim(x→x0) |f(x)-f(x0)|/ (x-x0)
上式的左导为= lim(x→x0-) |f(x)-f(x0)|/ (x-x0)
= - lim(x→x0-) |f(x)-f(x0)|/ |x-x0| = - lim(x→x0-) |[f(x)-f(x0)]/(x-x0)| =0
上式的右导为=lim(x→x0+) |f(x)-f(x0)|/ (x-x0) = lim(x→x0+) |[f(x)-f(x0)]/(x-x0)| =0
（化成绝对值主要是为了用f'(x0)=0的条件，进而表明下述成立）
因此：lim(x→x0) |f(x)-f(x0)|/ (x-x0)存在，且为0
即：lim(x→x0) [|f(x)|-|f(x0)|]/ (x-x0) = 0
于是：|f'(x0)|存在且为0

必须要性
|f'(x0)|存在且为0
于是根据定义：
lim(x→x0) [|f(x)|-|f(x0)|]/ (x-x0)
=lim(x→x0) |f(x)|/ (x-x0) =0
上式等价于：
lim(x→x0-) |f(x)|/ (x-x0) =lim(x→x0+) |f(x)|/ (x-x0)
左边=lim(x→x0-) |f(x)-f(x0)|/ (x-x0) = -lim(x→x0-) |[f(x)-f(x0)]/(x-x0)|
= - |lim(x→x0-)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)|
= - |f'(x0)|(左导)
右边= |f'(x0)|(右导)
因此，必有：
- |f'(x0)|(左导) = |f'(x0)|(右导)
只能是：f'(x0) =0