Question

设k是实数，关于x的一元二次方程x^2+kx+k+1=0的两个实根分别为x1,x2,若x1+2x2^2=k,求k的值

设k是实数，关于x的一元二次方程x^2+kx+k+1=0的两个实根分别为x1,x2,若x1+2x2^2=k,求k的值

Answer 1

解：(1)⊿=k²-4(k+1)≥0.===>|k-2|≥2√2.===>k≤2-2√2,或k≥2+2√2.（2）因x2是方程的根，故x2²+kx2+k+1=0.===>2x2²=-2(kx2+k+1).由题设k=x1+2x2²=x1-2(kx2+k+1).===>x1+x2=k+2(kx2+k+1)+x2=(2k+1)x2+3k+2=-k(韦达定理）===>(2k+1)x2=-2(2k+1)===>(2k+1)(x2+2)=0.===>x2=-2.(易知，2k+1≠0.即x=-2是原方程的根。===》4-2k+k+1=0.===>k=5.