Question

高考数学题

已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数.若方程f(x)=m(m＞0)在区间[-8,8]上有四个不同的根X1,X2,X3,X4,则X1+X2+X3+X4=?
（要详细的逻辑过程）

Answer 1

f(x)奇函数，∴f（x）=-f（-x），f（x-4）=-f（-x-4）
又f(x-4)=-f(x),
∴f（-x-4）=-f（-x）
f（x）=-f（x+4）=f（x+8）
∴f（x）是周期为8的函数；

又f（x）=-f（-x），f(x-4)=-f(x)
f（x-4）=f（-x）
∴f（x）关于x=4/2=2对称；

∵f（x）在[0,2]上是增函数，f（x）是奇函数；
∴f（x）在[-2,2]上是增函数；
又f（x）关于x=2对称
∴f（x）在[2,6]上是减函数；
又f（0）=-f（-0）=-f（0）得：f（0）=1，f（4）=0
∴当x∈(0,2]和(2,4）时，f（x）＞0
∵周期为8
∴x∈（-8，-6]∪(-6,-4）时，f（x）＞0

f（x1）=m＞0，∴可设x1∈（0,2）
因为f（x）在（0,2）上增函数，且关于x=2对称，那么另一个根为：x2=4-x1∈（2,4）
又周期为8，
则x3=x1-8∈（-8，-6）
x4=x2-8=4-x1-8=-x1-4∈（-6，-4）
（注意x1，x2，x3，x4∈[-8,8]）
∴x1+x2+x3+x4=x1+（4-x1）+（x1-8）+（-x1-4）=-8

附：这道题用代数来论证相当麻烦，不过如果是选择或者填空题，利用一楼的方法画图较为简单；

Answer 2

-12

2是对称轴 又是奇函数 画折线可得