Question

高等数学 像这种开区间里求证有一个实根的应该怎么写啊?最好有过程，谢谢啦!P1的9，和P2的10

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Answer 1

P1. 9证明: 设f(x)=sinx+x+1 求导
f'(x)=cosx+1
在区间x∈[-π/2,π/2]上,
显然f'(x)>0
∴f(x)单调递增
计算f(x)的端点值
f(-π/2)=sin(-π/2)-π/2+1=-π/2
f(π/2)=sin(π/2)+π/2+1=2+π/2
∵f(-π/2)和f(π/2)异号
∴在开区间x∈(-π/2,π/2)内, 连续函数 f(x)=sinx+x+1必存在零点,
即方程sinx+x+1=0,在开区间x∈(-π/2,π/2)内至少有一个实根.

P2. 10.
证明: 设f(x)=arctanx+x-1 求导
f'(x)=1/(1+x²)+1
显然在区间x∈[0,1]上,
f'(x)>0
∴f(x)单调递增
计算f(x)的端点值
f(0)=0+0-1=-1
f(1)=π/4+1-1=π/4
∵f(0)和f(1)异号
∴在开区间x∈(0,1)内, 连续函数 f(x)=arctantx+x-1必存在零点,
即方程arctanx=x-1,在开区间x∈(0,1)内至少有一个实根.

追问

能否用大学极限里闭区间性质的知识？

还有如果求出来两边都是正的怎么办

如何证明还是有根