Question

微分，切线方程

Answer 1

1) 曲线在参数t处的切向量为:（dx/dt,dy/dt,dz/dt）=（-a*sin(t),a*cos(t),b）,该切线与平面平行，则与平面的的法向量垂直，那么切向量与平面x+y=1的法向量（1,1,0）的点积为0，即：-a*sin(t)+a*cos(t)=0；那么分为a=0和a≠0两种情况，
① a=0， 切线方程即为原曲线方程{x=0，y=0，z=b*t}
切线上任一点处做法平面，该法平面的法向量即为切线的向量（0,0，b），可得法平面的点法式方程：b*（z-b*t）=0，即z=b*t，此处不讨论b为零情况，因为b为零时，原曲线为一个点。
② a≠0，sin(t)=cos(t) ，由于0≤t≤π，所以t=π/4,那么切点为（√2/2*a,√2/2*a,π/4*b）,切向量为（-√2/2*a,√2/2*a,b），那么切线方程为：{x=√2/2*a-√2/2*a*t，y=√2/2*a+√2/2*a*t，z=π/4*b+b*t} ，同样根据点法式可知法平面方程为：-√2/2*a*（x-(√2/2*a-√2/2*a*t)）+√2/2*a*(y-(√2/2*a+√2/2*a*t))+b*(z-(π/4*b+b*t))=0,省略整理步骤。。。
注：由于题中没有说明求某一个确定点的法平面，所以两种情况下的法平面都是带有参数t的且相互平行的平面簇。

2）两组空间曲面方程分别对x求导得：{2x+2y*dy/dx+2z*dz/dx-3=0,2-3*dy/dx+5*dz/dx} 将其看成关于dy/dx和dz/dx的二元一次方程组，可得: dy/dx=(15-10x+4z)/(10y+6z)，dz/dx=(9-6x+4y)/(10y+6z),在点（1,1,1）处，dy/dx=9/16,dz/dx=-1/16,所以该点的切向量为（1，9/16，-1/16），将其模值放大16倍为（16，9，-1），所以切线方程为(x-1)/16=(y-1)/9=1-z;在点（1,1,1）处的法平面方程为16*(x-1)+9*(y-1)-(z-1)=0;