Question

求解一道复变函数题，如图第二题

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Answer 1

　　解：∵0<p<1，1-2pcosθ+p^2=(1-p)^2+2p(1-cosθ)，∴在0≤θ≤2π，1-2pcosθ+p^2不为0，积分有意义。
　　设z=e^(iθ)，则丨z丨=1，dθ=dz/(iz)，2cosθ=(z^2+1)/z。
　　∴原式=(1/i)∫(丨z丨=1)dz/[(1+p^2)z-p(z^2+1)]=(1/i)∫(丨z丨=1)dz/[(1-pz)(z-p)]。
　　又，被积函数f(z)=1/[(1-pz)(z-p)]有两个一阶极点z=p、z=1/p，而z=1/p在丨z丨=1之外，∴Res[f(z),p]=lim(z→p)f(z)=1/(1-p^2)，
　　∴原式=(1/i)*2πi/(1-p^2)=2π/(1-p^2)。供参考。