Question

证明一个不等式？？？

求证：对于一切正整数n>=3 有
n^(n+1)>(n+1)^n

要求：不可以用导数等高等方法（我已经有个办法是取对数，构造函数证明单调性），只能用初等不等式的性质，几个初等重要不等式，数学归纳法等

Answer 1

这道题显然可以用数学归纳法证明。而这个很简单，过程死板，就不再说了。

再给个初等的做法：

把左边的式子除到右边，该不等式等价于：

(n+1)^n/n^(n+1)<1

<=>[(n+1)/n]^n/n<1

<=>(1+1/n)^n<n

而由题意有n>=3

所以只需证明(1+1/n)^n<=3即可。

图片中给出一个初等的证法：

Answer 2

原等价于n>(1+1/n)^n,然后用数学归纳法，若k>(1+1/k)^k,则
(1+1/(k+1)^(k+1)<(1+1/k)^k*(1+1/(k+1)<k*(1+1/(k+1))<k+1成立
看到楼下的回答，不禁想说两句，会认为数学归纳法过程死板的人是没有真正理解他的。尽管楼下换了一个更强的命题，但是证明也不见得很简单，
对于(1+1/n)^n<3的证明，比较简单的应该是直接二项式展开，对每一项依次放大到(1/2)的多少次，直接到3就可以了