Question

已知点O为锐角三角形ABC三边垂直平分线的交点,求证:角BOC=2角A

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Answer 1

证明：如图

延长AO交BC于D

∵点O在AB的垂直平分线上

∴AO=BO

同理：AO=CO

∴∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA

∵∠BOD=∠OAB+∠OBA，∠COD=∠OAC+∠OCA   (三角形的外角)

∴∠BOD=2∠OAB，∠COD=2∠OAC

∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2∠OAB+2∠OAC=2(∠OAB+∠OAC)=2∠BAC

Answer 2

连接AO，因为点O为锐角三角形ABC三边垂直平分线的交点，所以易证角OBA=角OAB,角CAO=角OAC,又角OBC+角OCB=180-角BOC=角ABC-角OBA+(角ACB-角CAO),代入，180-角BOC＝角ABC+角ACB－（角OAB+角OAC）＝180－角A－角A，所以角BOC=2角A

Answer 3

O是外切圆圆心，角BOC与角A是圆心角和圆周角的关系