Question

线性代数为什么要研究相似矩阵和二次型

Answer 1

这个问题好难回答。

我个人感觉，相似矩阵和二次型最主要的目的是为了用更简单形式的矩阵来研究原矩阵的性质。

比如，如果一个矩阵相似于对角矩阵，那么，我们只需要研究这个对角矩阵的性质就可以了，如果需要计算原矩阵的乘积，很明显对角矩阵的乘法要比原矩阵的运算来的快的多。具体的应用其实很常见，比如Photoshop等软件中，图像均以矩阵形式存储，对图片进行旋转、放大、缩小等操作的时候，其实就是在对矩阵进行相应的变换操作。此时，如果用复杂的原矩阵进行操作会比较慢，而用较简单的相似矩阵进行操作则能大大提高效率。

再比如，远程视频等涉及到画面传输。每个画面均当做一个矩阵来考虑，如果能将每个矩阵相似于对角矩阵，则数据的传输量能够大大降低，而画面的接受方在接收到数据后，只需要进行一次数据还原就可以得到原有画面。

再比如，现在大家都用微博，微信，淘宝，百度等账号，这些社交网站都会给你推荐一些和你有共同兴趣爱好的好友。这个其实也可以当做是矩阵的相似，只不过这里的矩阵中的数据是每个人的兴趣爱好。如果两个人的矩阵相似，则可以认为这两个人兴趣爱好接近，推荐为好友。当然，实际的运算很复杂，不像我说的那么简单，毕竟想描述一个人所需要的数据量是很大的。说到这个我想起来一个恶心的事情，现在基本上你用淘宝搜个东西，过两天你会发现你的百度搜索会给你提供很多这方面的广告，反之亦然。所以，我感觉百度，淘宝，微博，微信，他们貌似是信息共享的。。。

Answer 2

如果矩阵A与B相似，记为A~B，则矩阵A与B一定具有相同的特征值(λ1- - - λn)，但A与B的特征向量一般不相同。当A~B时有等式B＝(Q逆)AQ成立，式中Q是随机选定的可逆矩阵，一般情况下B不是对角阵。特殊地，由A的n个特征向量组成的矩阵用P表示，此时(P逆)AP＝B，矩阵B一定是对角阵Λ(B＝Λ)。与A相似的矩阵B有很多，而B＝Λ则是无穷相似矩阵中最简洁的(不考虑λ在对角线顺序)，A的特征值就是Λ的对角元素，这种简洁形式特别方便数学研究。特征值一般反映物理系统的运动属性，因此特征值有较多工程应用。例如多自由度弹簧振子的振动频率，人脸计算机识别，化学溶液的主成份分析，线性系统理论等。另: 线代为什么要讨论二次型函数？因为二次函数可表述为矩阵的相乘，即 f(x1，ⅹ2)=(Ⅹ^T)AX，A为二次型系数矩阵，X为列向量，(X^T)是列向量转置(行向量)。不同的二次型得到不同的A矩阵。求A的对角阵 = 求A的特征值，特征值=二次项系数，且全部的交叉项系数=0，即消除了交叉项，二次函数更简洁。∵矩阵属线性代数内容，∴二次型放其中研究。已知A矩阵可求出特征值和特征向量；反之已知特征值和特征向量也能求出原矩阵: PΛ(P逆)=A。