Question

一个4×4矩阵中元素为±1,求行列式的最值

一个4×4矩阵中元素为±1,求行列式的最值

Answer 1

先考虑2阶的情况：
1 1
1 -1
=-2

1 1
1 1
=0

1 -1
1 1
=2
得到行列式范围是{-2,0,2}

再考虑3阶的情况：
1 1 1
1 -1 1
1 -1 -1

用第1行乘以-1或1，加到第2、3行，必然可以将第1列的，第2、3行化为0
也即化成，准上三角行列式（分块行列式：左上角是1x1，右下角是2x2）
2阶行列式中，元素是{-2,0,2}中的1个
-2 2
2 2
=-8

-2 0
0 2
=-4

0 0
0 0
=0

2 0
0 2
=4

2 -2
2 2
=8

则这个2阶行列式【1】，值范围{-8,-4,0,4,8}

则3阶行列式值范围{-8,-4,0,4,8}

类似地，
将4阶行列式，第1行，乘以1或-1，加到其余3行，化成准上三角
右下角是3阶行列式，其元素范围{-2,0,2}中的1个，
其各行除以2，即可化成3阶行列式（元素范围{-1,0,1}）
则4阶行列式值范围是2^3*{-8,-4,0,4,8}

={-64,-32,0,32,64}