Question

连续函数在闭区间内是否一定有最大值

Answer 1

问题应该是“闭区间上的连续函数是否一定有最大值”吧...
答案是肯定的。
反证法，若f(x)在[a,b]没有最大值，则对于每个正整数n，都存在一个xn∈[a,b]，使f(xn)>n。
由数列的列紧性，从数列{xn}里必能选出一个子列，其收敛于p∈[a,b]，则其对应的函数值收敛于f(p)。而由于f(xn)>n，所以lim{n->∞}f(xn)=+∞，其任意子列函数值一定趋向无穷，与某子列收敛于f(p)矛盾。
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