Question

设f(lnx)=1,x<1 x,x>=1 求fx积分

Answer 1

f(lnx) = 1 ; x<1
= x ; x≥ 1

let
lnu = x
(1/u)du = dx

∫ f(x) dx
=∫(1/u) f(lnu) du

case 1: u < 1
∫(1/u) f(lnu) du
=∫(1/u) du
=ln|u| + C

u< 1
=>
lnu = x
=> x< 0
∫ f(x) dx
=∫(1/u) f(lnu) du
=ln|u| + C
=x + C

case 2: u≥ 1
∫(1/u) f(lnu) du
=∫ du
=u + C

u≥ 1
=>
lnu = x
=> x ≥ 0
∫ f(x) dx
=∫(1/u) f(lnu) du
=u + C
= e^x + C

ie
∫ f(x) dx = x+ C ; x<0
=e^x + C' ; x ≥0