Question

已知函数f(x)=x丨x2-a丨,若存在x∈[1,2],使f(x)<2，求实数a的取值范围

Answer 1

f(x)=x|x²-a|
a≤1时，x∈[1,2]
f(x)=x³-ax
f'(x)=3x²-a>0 f₁(x)单调递增
最小值f(1)=1-a<2→a>-1
a>1
f₁(x)=-x³+ax (1≤x≤√a)
f₂(x)=x³-ax (√a≤x≤2)
当a≤4
1≤√a≤2
∵f(√a)=0<2,恒成立
a>4时，f(x)=-x³+ax
f'(x)=-3x²+a
驻点x=√a/3>1 为极大值点
∴ a≤12时，区间包含极大值点
最小值=min[f(1),f(2)]<2
f(1)=a-1<2→a<1 恒不成立
f(2)=4(a-4)<2→a<4.5
a>12 区间在极大值点的左侧，f(x)单调递增
最小值=f(1)=a-1>11 恒不成立
综上：实数a的取值范围是a<4.5

Answer 2

f(x)+a/f(x)>2

得到2^x+a/2^x>2
得到a>(2-2^x)2^x
令t=2^x 则t属于[1/2,2]
则a>(2-t)t
所以存在t属于[1/2,2]使得，a>(2-t)t
当t属于[1/2,2]，(2-t)t最小值是0
故a>0

Answer 3

523153