Question

高三数学数列

1）已知数列｛bn}是等差数列，b1=1,b1+b2+b3+...+b10=145.设数列｛an}的通项an=loga(底数）^（1+1/bn)（真数）。记Sn是数列an的前n项和。试比较Sn与[loga^b(n+1)]/3的大小，并证明
2）（1）在正项等比数列｛bn}中，若记b1*b2...*b50=e,b(n-49）*b(n-48)...*bn=f,其中n为大于49的自然数，证明：b1*b2...bn=(ef)^(n/100)
(2)类比上述性质，相应在等差数列an中，写出一个类似的结论，并加以证明
紧急，全对者加赏

Answer 1

记号：用“<>”表示下标。如a<1>表示数列a中的第1个元素。
loga[b]表示以a为底以b为真数的对数。
“*”表示乘号。
“^”表示乘方。
【第一题】
由等差数列求和公式得T<10>=145=（b<1>+b<10>）10/2，T<n>为b的前n项和。
再由b<1>=1，可得b<10>=28。
而b<10>=b<1>+9d（d是等差数列b的公差），所以d=3。
进而b的通项公式为b<n>=3n-2。
那么a<n>=loga[1+1/b<n>]=loga[(3n-1)/(3n-2)]
即a的通项公式为a<n>=loga[(3n-1)/(3n-2)]。
比较S<n>和(1/3)loga[b<n+1>]的大小，就是比较3S<n>和loga[b<n+1>]的大小。
而3S<n>=3(a<1>+a<2>+……+a<n>)
=3loga[(2/1)(5/4)……((3n-1)/(3n-2))]
=3loga[(2*5*……*(3n-1))/(1*4*……*(3n-2))]
=loga[(2*5*……*(3n-1))/(1*4*……*(3n-2))]^3
loga[b<n+1>]=loga[3n+1]
先看二者的真数：
[(2*5*……*(3n-1))/(1*4*……*(3n-2))]^3
>[(2*5*……*(3n-1))/(1*4*……*(3n-2))]
*[(3*6*……*3n)/(2*5*……*(3n-1))]
*[(4*7*……*(3n+1))/(3*6*……*3n)]
=[2*3*4*5*……*(3n+1)/(1*2*3*4*……*3n)]
=[3n+1]
(刚才这一步是关键，用的是放缩法)
也就是说，3S<n>的真数更大一些。
再看底数，也就是a：
题目中似乎没有给数a的范围，所以需要讨论。
注意到a的自然范围为a>0且a不为1即可。
当0<a<1时，loga[x]为单调递减函数，3S<n>小于loga[b<n+1>]；
当a>1时，loga[x]为单调递增函数，3S<n>大于loga[b<n+1>]。
因此结论是：
当0<a<1时，S<n>小于(1/3)loga[b<n+1>]；
当a>1时，S<n>大于(1/3)loga[b<n+1>]。
【第二题】{第一问}
由等比数列通项公式b<n>=b<1>q^(n-1)可知：
e=b<1>b<2>……b<50>
=b<1>*b<1>q*……*b<1>q^49
=(b<1>^50)*q^(25*49)
f=b<n-49>b<n-48>……b<n>
=b<1>q^(n-50)*b<1>q(n-49)*……*b<1>q^(n-1)
=(b<1>^50)*q^(25*(2n-51))
ef=(b<1>^50)*q^(25*49)*(b<1>^50)*q^(25*(2n-51))
=（b<1>^100）*q^(50*(n-1))
所以等式右边
(ef)^(n/100)=(b<1>^n)*q^(n(n-1)/2)
又等式左边
b<1>b<2>……b<n>=b<1>*b<1>q*……*b<1>q^(n-1)
=(b<1>^n)*q^(n(n-1)/2)=右边
因此原等式成立。
【第二题】{第二问}
只需要将等比变为等差，乘法改为加法，乘方改为乘法即可。
因此结论为：
在正项等差数列{b<n>}中，若记b<1>+b<2>+……+b<50>=e
b<n-49>+b<n-48>+……+b<n>=f，其中n为大于49的自然数，
则有b<1>+b<2>+……+b<n>=(e+f)(n/100)
{证明}（类似于第一问，只写简略步骤）
可知e=50b<1>+25*49d，d为等差数列b的公差。
f=50b<1>+25*(2n-51)d
e+f=100b<1>+25*(2n-2)
(e+f)(n/100)=nb<1>+n(n-1)/2=b<1>+b<2>+……+b<n>
结论成立。

Answer 2

答案如图