Question

初二几何难题

1.如图1，已知△ABC，∠ACB=90°，分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE，且DA=DB，BE=EC，若∠ADB=∠BEC=2∠ABC，连接DE交AB于点F，试探究线段DF与EF的数量关系，并加以证明。

2.如图2-1，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，

（1）将Rt△ABC绕点A逆时针旋转90°，得到Rt△AC'B'，直线BB'交直线CC'于点D，连接AD.

探究：AD与BB'之间的关系，并说明理由。

（2）如图2-2，若将Rt△ABC绕点A逆时针旋转任意角度，其他条件不变，还有（1）的结论吗？为什么？

3.在△ABC与△BDE中，∠ABC=∠BDE=90°，BC=DE，AC=BE，M.N分别是AB.BD的中点，连接MN交CE于点K

（1）如图3-1，当C.B.D共线，AB=2BC时，探究CK与EK之间的数量关系，并证明；

（2）如图3-2，当C.B.D不共线，AB≠2BC时，（1）中的结论是否成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

（3）将题目中的条件“∠ABC=∠BDE=90°，BC=DE，AC=BE”都去掉，再添加一个条件，写出一个类似的对一般三角形都成立的问题（画出图形，写出已知和结论，不用证明）

4.已知：如图4，梯形ABCD中，AD‖BC，AB=DC，连接BD

操作：画出△ABD绕点D顺时针旋转90°后的图形△A'B'D'。若点M.N分别是AD，A'D的中点，直线MN交线段B'C于点O。

探究：点O是否是线段B'C的中点，并证明你的结论。

5.如图，△ABO与△CDO均为等腰三角形，且∠BAO=∠DCO=90°，M为BD的中点，MN⊥AC，试探究MN与AC的数量关系，并说明理由。

图片去http://wenwen.soso.com/z/q207990126.htm看，谢了
wzhch666的回答中第2题还有一个关系是AD⊥BB'

Answer 1

1.过点D作DH⊥AB于H，连结HC，HE，HE交CB于K，△HBE≌△HCE，然后导角证DB‖HE，DH‖BE．四边形DHEB是平行四边形.
2.只证(2).旋转相似：△CAC'∽△BAB'，∠BB'A=∠CC'A，所以A、C'、B'、D四点共圆，AD⊥BB'，设旋转角为α，BB'=2ADtan1/2α.
3.还是只证(2).注意到，NE=CM，∠ENM+∠CMN=∠ENM+∠DNE+∠BNM=180°
于是过E作EF‖NM交CM于F，则NEMF为等腰梯形，CM=NE=MF，从而CK=KE
(3)△ABC≌△BDE
4.证法与3类似，不赘述
5.分别过B、O、D作AC的垂线，垂足为E、F、G，△BEA≌△AFO，△OCF≌△CGD，
从而EB=FA，FC=GD，MN为梯形BEDG的中位线，所以MN=1/2（BE+DG)=1/2AC

Answer 2

1、作EG⊥BC,G为BC上的垂足，延长EG交AB于Q,连接DQ.因BE=EC,△BEC为等腰三角形，则EG垂直平分BC,∠GEB=∠GEC=∠ABC(∠ADB=∠BEC=2∠ABC),G为BC中点，且因∠ACB=90°，所以EQ‖AC,GQ为三角形ABC的中位线，连接DQ，因DA=DB,所以DQ垂直平分AB.∠ADQ=∠BDQ=∠ABC(∠ADB=∠BEC=2∠ABC)；
在△BQD和△BQE中，∠GEB=∠BDQ,∠DQB=∠EBQ=RT∠,QB为公共边，△BQD≌△BQE，DQ=BE,又在△DFQ和△BFE中，∠DQF=∠EBF=RT∠,∠DFQ=∠BFE，DQ=BE，所以△DFQ≌△BFE，DF=EF.
2、作B'G‖BC,交CD延长线于G.则B'G⊥B'C'.
因AC⊥AC',AC=AC',所以∠ACC'=∠AC'C=45°，∠B'C'G=180°-90°-45°=45°，又B'G⊥B'C'，所以∠B'GC'=45°，∠B'GC'=∠B'C'G，B'G=B'C'=BC,
所以在△B'DG和△BCD中，因作B'G‖BC，∠B'GD=∠BCD,∠B'DG=∠BDC,B'G=BC,
因此△B'DG≌△BCD，B'D=BD,
又因∠CAB+∠C'AB=90°，所以∠B'AC'+∠C'AD=90°，所以△AB'B为等腰RT△，又D为斜边BB'中点，AD=1/2BB'.
若将Rt△ABC绕点A逆时针旋转任意角度，其他条件不变，得不出（1）的结论
因为△ABB'不是RT△,所以中线AD≠1/2BB'.
3、连接EM，∠ABC=∠BDE=90°，BC=DE，AC=BE，△ABC≌△BDE,AB=BD,又M.N分别是AB.BD的中点，AB=2BC,所以CN=BD=AB,AM=BM=BC=BN=DN=DE.
因∠ABC=∠BDE=90°，B、D、E三点共线，BM‖DE,BM=DE(已证），所以四边形BMED为矩形，BD=ME,又CN=BD=AB(已证），所以ME=CN,又∠KCN=∠MEK,∠KNC=∠KME,△CKN≌△EKM,CK=EK.
(先证这些，晚上续证）

Answer 3

都要做延长线的

Answer 4

MN＝1／2AC
连接AM，MC，OM。