Question

高中数学奇函数问题

证明y=asinx+blg[根号(x^2+1)+x]为奇函数

Answer 1

答案如图

Answer 2

f(X)=asinx+blg[[√(x^2+1)]+x]
f(-x)=asin(-x)+blg[[√(x^2+1)]-x]
=-asinx+blg{{[√(x^2+1)]-x][√(x^2+1)]+x}/{[√(x^2+1)]+x}}}
=-asinx+blg[1/[√(x^2+1)]+x]
=-asinx-blg[[√(x^2+1)+x]]
=-f(x)
且定义域关于原点对称，∴f(X)是奇函数

Answer 3

sinx是奇函数，只需证明lg[根号(x^2+1)+x]同为奇函数
g(x)=lg[根号(x^2+1)+x]
g(-x)=lg[根号((-x)^2+1)-x]=lg1/[根号(x^2+1)+x]=-g(x) （用到分子有理化）
可知g(x)同为奇函数
所以原函数为奇函数

Answer 4

小哥，完全不能被题目的阵势吓倒么！
奇函数，只要证明要证f（x）=-f（-x）就行了

设原式f（x）=asinx+blg[根号(x^2+1)+x]

所以f（-X）=asin(-x)+blg[根号(x^2+1)-x]=-asinx+blg[根号(x^2+1)-x]

所以-f（-X）=asinx-blg[根号(x^2+1)-x]

然后你可以把blg前的负号移到里面变成

asinx+blg（1/[根号(x^2+1)-x]）

再对1/[根号(x^2+1)-x]进行化解上下两边同乘以（根号(x^2+1)+x）

得asinx+blg[根号(x^2+1)+x]

所以f（x）=-f（-x）
所以原式为奇函数

Answer 5

首先，根号(x^2+1)+x>根号(x^2)+x=|x|+x>=0,所以定义域为R（很重要）。然后，f(-x)=-asinx+blg[根号(x^2+1)-x]=-asinx+blg{(x^2+1-x2)/[根号(x^2+1)+x]}（这里是对里面的式子用平方差公式，我想难点只有这一个，其他就简略了，毕竟打字很累，呵呵。）=-asinx-blg[根号(x^2+1)+x]=-f(x).命题得证。