Question

二重积分极坐标替换问题。在求二重积分，我们用fubini定理化成累次积分求解，其中可能

二重积分极坐标替换问题。在求二重积分，我们用fubini定理化成累次积分求解，其中可能其中可能因为不光滑点(即曲线方程改变)，根据积分域的图像，化累次积分有可能会导致变成两个累次积分的和，来表示二重积分。
(话都是自己想的，自学，有什么不对请指出)
在极坐标替换中，是否可以不画积分域图像，直接x=rsinθ，y=cosθ。我在想，会不会在那种情况下，会变成两个极坐标累次积分的和。
不会判断。
一大堆啰里啰嗦，名词可能说的不到位，请指出非常谢谢！！

Answer 1

嗯，你前面说的是对的。
不管哪种坐标变换，我觉得画出积分区域是一个必要的步骤。首先你要保证，你做出坐标变换后的区域的点与原来的区域上的点是一一对应的，比如：(rcosθ,rsinθ)这里面的(r,θ)一一对应于一个(x,y) （实际上这就是jocabi行列式不等式0，是必须要保证的），这意味着你可能要把一个区域划分成多个小区域才能找到这种一一对应关系。可以看看下面这个例子我的回答:
http://zhidao.baidu.com/question/1705960521451817300.html?from=pubpage&msgtype=2
而通常情况下，不画出积分区域，甚至还有必要的计算，你不太可能找到这种对应关系。
而一旦你确定你做出的极坐标变换是一个一一对应的关系，那么二重积分就可以转化成累次积分从而得出结果。