Question

高一函数问题，帮我讲讲，谢谢

需要过程
1.若函数f(x)=4x^2-kx-8在[5，8]上是单调函数，则k的取值范围是————
2.设f(x)=lg(10^x+1)+ax是偶函数，g(x)=(4^x-b)/2^x是奇函数，那么a+b的值——————
3.已知函数f(x)是定义在[-1，1]上的函数，若对于任意x,y∈[-1，1]，都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x＞0时，有f（x）＞0
（1）求f(0)的值
（2）判断函数的奇偶性
（3）判断函数f(x)在[-1，1]上是增函数，还是减函数，并证明你的结论

Answer 1

1.考察二次函数的性质，结合图像分析
函数f(x)=4x^2-kx-8在[5，8]上是单调函数，只需要对称轴x=k/8不在（5，8）上
所以k/8≥8或k/8≤5（注意验证是否可以取等）
即k≥64或k≤40
2。用奇偶函数性质
设f(x)=lg(10^x+1)+ax是偶函数
所以f(x)=f(-x)
令x=1,则f(1)=f(-1)
（注：此处用的是赋值法，也可以用一般方法：代数式恒等）
即lg(10+1)+a=lg(1/10+1)-a
所以lg(11)-lg(11/10)=lg10=1=-2a（对数公式：lga-lgb=lg(a/b)
所以a=-1/2
g(x)=(4^x-b)/2^x是奇函数
则g(0)=1-b=0（对于奇函数g(x)，如果在x=0处有定义，则g(0)=-g(0),g(0)=0)
所以b=1
于是a+b=1/2
3.对抽象函数问题用赋值法
（1）令x=1,y=1,则f(0)=2f(0)
所以f（0）=0
(2)构造f(x)与f(-x)
令y=-x,于是f(x)+f(-x)=f（0）=0
所以f(x)是奇函数
（3）用定义法
令a=x+y,b=x,且a>b则y=a-b>0,f(a-b)>0
有f(a)-f(b)=f(a-b)>0
即对任意a,b∈(-1,1),a>b,有f(a)>f(b)
所以f（x）是单调增函数