Question

高一数学一题

函数f(x)=2x^+(x-a)|x-a|,求f(x)最小值

解：
f(x)=
3(x-a/3)^+2a^/3,x＞a 一式
(x+a)^-2a^,x≤a 二式

当a≥0时，f(-a)=-2a^,f（x)≥-2a^,最小值-2a^
当a＜0时，……

我的问题是，“当a≥0时，f(-a)=-2a^,f（x)≥-2a^,最小值-2a^”
为什么代-a ? 为什么带入二式？

谢谢。

Answer 1

是一式和二式的最小值在比较大小的，，大于等于零时一式最小值是正的比二式大。你看看吧

Answer 2

f(x)=2x²+(x-a)|x-a|
x-a≥0时，即x≥a时，
f（x）=2x²+（x-a）（x-a）=3x²-2ax+a²=3（x-a/3）²+2a²/3
x-a＜0时，即x＜a时，
f（x）=2x²+（x-a）（a-x）=x²+2ax-a²=(x+a)²-2a²

分类：
1）a≥0时，
x≥a时，f（x）=3（x-a/3）²+2a²/3≥3（a-a/3）²+2a²/3=2a²
x＜a时，f（x）=（x+a）²-2a²≥（-a+a）²-2a²=-2a²
显然2a²≥-2a²
∴a≥0时，f（x）的最小值为-2a²
2）a＜0时，
x≥a时，f（x）=3（x-a/3）²+2a²/3≥3（a/3-a/3）²+2a²/3=2a²/3
x＜a时，f（x）=（x+a）²-2a²＞（a+a）²-2a²=2a²
显然2a²＞2a²/3
∴a＜0时，f（x）的最小值为：2a²/3

以上为个人解答，具体你问的为什么看不太明白不好意思，你看看我这个解法是不是能看懂。