Question

在线等...问一道数学题，大家帮帮忙！

已知△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE交于H点.
求证CH⊥AB.

Answer 1

设向量a=HA，b=HB，c=HC
则BC=c-b，AC=c-a
AD⊥BC
所以HA⊥BC
所以a*(c-b)=0
所以ac-ab=0①
同理b*(c-a)=0，bc-ab=0②
①-②得
ac-bc=0
即c(a-b)=0
即HC*(HA-HB)=0
HC*BA=0
所以HC⊥BA
即CH⊥AB

下面用初中四点共圆的知识，
连接DE
显然，C、D、H、E四点共圆
所以∠EDH=∠ECH
又A、B、D、E四点共圆
所以∠ABE=∠ADE
所以∠ABE=∠ECH
所以B、C、E、F四点共圆
所以∠BFC=∠BEC=90°
所以CH⊥AB

Answer 2

都是向量证明，我就用个纯几何证明吧
AD⊥BC于D，BE⊥AC于E
∴∠BEC=∠CDH=90°
又∵∠ACB是公共角
∴△ACD∽△BCE
∴CE/CB=CD/CA
∵∠ACB是公共角
∴△CDE∽△CAB
∴∠BAC=∠EDC
∵∠BEC=∠CDH=90°
∴CEFD四点共圆，
∴∠ECH=∠EDH(同圆弧所对圆周角相等）
∵∠HDE+∠EDC=90°
∴∠CAB+∠ECH=90°
∴∠AFC=90°即CH⊥AB

Answer 3

锐角三角形的 高线 交与三角形内一点
已知交点 ，那么凡是经过定点和交点 的线 就是三角形的高线，自然就垂直了

http://hyz0.blog.sohu.com/69718212.html

Answer 4

H点是三角形的垂心（三条高交于一点这个不用证明了吧），所以CH垂直于AB。

Answer 5

证：
延长CH交AB于F
作CM垂直于AB
因为CM AD和BE均为三角形ABC的高
所以三线会交与一点 因为AD BE交于点H
所以CM也交于点H 即CM与CF重合
所以CF垂直于AB 所以CH垂直于AB

Answer 6

用向量证简单