用第二换元法求不定积分 5
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解答这个积分的困难在于有根式√（4-x^2),但是我们可以利用三角公式sin²t+cos²t=1来化去根式.设x=2sint,-π/2＜t＜π/2,那么√（4-x^2)=2cost,dx=2costdt,于是根式化成了三角式
所求积分化为∫ √（4-x^2)
=∫ 2cost·2cost dt
=4∫ cos²tdt=4∫（1＋cos2t)/2 dt
=2∫ （∫ dt＋∫ cos2t dt）
=2∫ dt＋∫ cos2t d（2t）
=t＋sin2t＋c
由于x=2sint,t=arcsin（x/2）
cost=√（1-sin²t）=√[1－（x/2）²]=[√（4-x²）]/2
∫√(4-x^2)dx =2arcsin（x/2）＋1/2 ·x√（4－x²）＋c
所求积分化为∫ √（4-x^2)
=∫ 2cost·2cost dt
=4∫ cos²tdt=4∫（1＋cos2t)/2 dt
=2∫ （∫ dt＋∫ cos2t dt）
=2∫ dt＋∫ cos2t d（2t）
=t＋sin2t＋c
由于x=2sint,t=arcsin（x/2）
cost=√（1-sin²t）=√[1－（x/2）²]=[√（4-x²）]/2
∫√(4-x^2)dx =2arcsin（x/2）＋1/2 ·x√（4－x²）＋c
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