Question

考研数学定积分问题

考研数学定积分问题求详细过程

Answer 1

详细解答

追问

开始那个奇函数和等于0是根据什么来的

追答

对称区间，被积函数为奇函数，那么积分为0。这是教材上的定理

追问

好的

这个奇函数看不出来啊

f(-x)也不得-f(x)啊

追答

你验证f(-x)=-f(x)就行了

怎么不等，自己再算，你计算能力有待提高

追问

一个是ln(-1+根号2)另一个是-ln(1+根号2)

额，会了，不带1进去就对了

Answer 2

ln[x+√(1+x^2)] 是奇函数， x^2 ln[x+√(1+x^2)] 还是奇函数，
(x^2+1)√(1-x^2) 是偶函数， 故得
I = 2 ∫ <0, 1>(x^2+1)√(1-x^2)dx (令 x = sint)
= 2 ∫ <0, π/2>[1+(sint)^2](cost)^2 dt
= ∫ <0, π/2>[3/2-(1/2)cos2t)](1+cos2t) dt
= (1/2) ∫ <0, π/2>(3-cos2t)(1+cos2t) dt
= (1/2) ∫ <0, π/2>[3+2cos2t-(cos2t)^2] dt
= (1/2) ∫ <0, π/2>[5/2+2cos2t-(1/2)cos4t)] dt
= (1/2) [(5t/2 + sin2t - (1/8)sin4t]<0, π/2> = 5π/8