Question

我有一个数学问题 急！急！急！

已知，a，b，c为△ABC的三边长，有（根号a+根号b+根号c）的平方=3（根号ab+根号ac+根号bc），证明这个三角形为正三角形。

Answer 1

已知 （根号a+根号b+根号c）的平方=3（根号ab+根号ac+根号bc)
左边平方出来得 2（根号ab+根号ac+根号bc)+a+b+c=3（根号ab+根号ac+根号bc)
整理得a+b+c=（根号ab+根号ac+根号bc)
等式两边都乘以2
2（a+b+c)=2（根号ab+根号ac+根号bc)
移项得(a-2根号ab+b)+(a-2根号ac+c)+(b-2根号bc+c)=0
左边3个括号可以写成2次平方
即（根号a-根号b)的平方+（根号a-根号c)的平方+（根号b-根号c）的平方=0
因为平方数大于等于0，所以左边3个括号的平方都为0，所以得a=b=c,即此三角形为正三角形。

Answer 2

两边同时平方并整理：a+b+c=根号ab+根号ac+根号bc
同时乘以2
2a+2b+2c=2根号ab+2根号ac+2根号bc
由a+b>=2（根号ab）当且仅当a=b时成立
同理a+c>=2（根号ab）当且仅当a=c时成立
b+c>=2（根号ab）当且仅当b=c时成立
所以a=b=c