Question

有几道很难的数学题拜托各位啦！！！~

因为这些题目原本是英文然后我把他们翻译成了中文，翻译的不是特别好，请各位大大见谅哈~~~

问题一：
有一个三角形ABC（分别是三角形的三个角的名称），在A和C之间有一个点X。 所以说 AX=15m XC=5m ∠AXB=60° 然后∠ABC是∠AXB的两倍，求BC的长度。（求详解）

问题二：
在所有四位数（1000~9999）里面，要求一个数它既是完全平方，又要它的前两位数相等和他的后两位数也要相等。能找多少找多少。

第三题：
要求如何证明 在27×23^n + 17×10^2n （n是正整数）中 都可以被11整除？ （求详解）

第四题：
有200个学生排队，他们组成了10个横排和20个竖排。 当我们从每横排里面选出最高的一个学生时（共10个学生），小明是他们中间最矮的。当我们从每竖排里面选择最矮的学生时（共20个学生），小张是他们中最高的一个。如何证明小张不可能比小明要高？（求详解）

以上这些题目真是困扰了我许久。。。。希望各位能够帮我解决，在下感激不尽~~~还有啊，要是会其中某一题的话也请告诉我怎么做谢谢！！请把解题过程也写上来谢谢啦！！
一鞠躬。。。。二鞠躬。。。。三鞠躬。。。。

Answer 1

一解：∵∠AXB=60°∴∠BXC=120°

∵∠BXC=120°=∠ABC  ∠C=∠C∴△ABC∽△BXC

则AC/BC=BC/XC

∴BC=10

二解：只有7744

三解： 27×23^n + 17×10^2n 

=33×23^n -6×23^n+ 11×10^2n +6×10^2n 

=33×23^n + 11×10^2n +6×（10^2n -23^n）

=33×23^n + 11×10^2n +6×（100^n-23^n）

当n=2k+1,  

100^n-23^n

=100^(2k+1)-23^(2k+1)

=(23+77)×100^2k-23×23^2k

=23(100^2k-23^2k)+77×100^2k

当n=2k,

100^n-23^n

=100^2k-23^2k

=(100^k+23^k)(100^k-23^k)

所以，当幂是奇数时，总可以变成偶数幂+77×100^2k当幂是偶数时，总可以分解下去，直到最后变成某数X（100-23）

100^n-23^n

=（。。。）（。。。）。。。。（100-23）

=77（。。。）（。。。）

所以，27×23^n + 17×10^2n （n是正整数）中 都可以被11整除

四解：小张和小明的位置关系只有3种可能

⒈小张和小明在同一竖排

  由“当我们从每竖排里面选择最矮的学生时（共20个学生）”得小张是这一竖排里最矮的 所以小张比小明矮

⒉小张和小明在同一横排

  由“每横排里面选出最高的一个学生时（共10个学生）”得小明是此横排最高的 所以小张比小明矮

⒊小张和小明不在同一横排，也不在同一竖排

  设和小明在同一横排，和小张在同一竖排的为A，

由⒉得A比小明矮，

由⒈得小张比A矮，

所以小张比小明矮

Answer 2

都是好怪的题目啊，几何，数论，组合数学的题目都有
1 ∠ABC=2∠AXB=120°
所以 ∠A+∠C=60°
∠C+∠CBX=∠BXA=60°
∴∠A=∠CBX
又∠C是公共角,
所以△CBX∽△CAB
所以 BC/CX=CA/BC
即 BC^2=CX*CA=5*(5+15）=100
所以BC=10

2根据题意，这个数可以表示为aabb,aabb=11*a0b
aabb是个完全平方数，所以11|a0b，又因为 9>=a,b>=1,根据被11整除的数的性质有，a+b=11
所以a0b只可能为902,803,704,605,506,407,308,209
其中除以11还是完全平方数的只有704
即7744=11^2*8^2=88^2

3
27×23^n + 17×10^2n （mod11)=27(mod11) * 23^n(mod11)+17(mod11)*100^n(mod11)=5(mod11)*1^n(mod11)+6(mod11)*1^n(mod11)=5(mod11)+6(mod11)=11(mod11)=0
即原式被11整除

4 假定小明行号是a，列号是b，坐标写为（a,b)，身高为h1，小张行号是c，列号是d，坐标写为（c,d)，身高为h2,如果a=c,因为小明是同行最高的，h1>=h2如果b=d，因为小张是同列最矮的，h1>=h2，如果行号列号都不等,
考虑在坐标（a,d)位置的同学设他身高为h3，小明是同行最高，h1>=h3， 同理h3>=h2，所以h1>=h2，即小张不可能比小明高

Answer 3

第一题简单已经解出。第二题看不明白，麻烦举个例子。第三题有思路，估计是利用能被11整除的数的特性（1、把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除. 2、:从一个数里减去11的10倍,20倍,30倍……到余下一个100以内的数为止.如果余数能被11整除,那么,原来这个数就一定能被11整除. ），或者用公倍数，第四题无思路。

第一题 B做垂线垂直AC于点D
因为∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°
所以∠BAC+∠BCA=180°-120°=60°
而∠ABD=90°-∠BAC
所以60°-∠BCA就是角ABD
（90°-∠BCA）+（60°-∠BCA）=120°
得出∠BCA=15°
从而得出三角形三个角度数
又知XC=5
用正弦余弦算算就出来了。

Answer 4

你有些题目打错了，意思根本不对。
这里先讲讲第三题：
证明 在27×23^n + 17×10^2n （n是正整数）中 都可以被11整除？ （求详解）

这道题是属于“数学归纳法”的运用范畴内的。

证明：
1.因为n为正整数，n=1时，27×23^n + 17×10^2n =27*23+17*100=211.能被11整除。命题成立。
2.假设n=k（k是正整数）时，命题成立，则有：27*23^k+17*10^(2k)能被11整除。
那么当n=k+1时，
27*23^(k+1)+17*10^(2k+2)
=23*27*23^k+100*17*10^(2k)
=23[27*23^k+(100/23)*17*10^(2k)]
=23[27*23^k+17*10^(2k)]+77*17*10^(2k)
如上，“23[27*23^k+17*10^(2k)]”可以被11整除。（因为假设n=k时，27*23^k+17*10^(2k)能被11整除。）
“77*17*10^(2k)”也能被11整除，因为式子中77能被11整除。

所以23[27*23^k+17*10^(2k)]+77*17*10^(2k)能被11整除。
所以，n=k+1时，命题也成立。

所以当n为任意正整数时，命题成立。
得证！