Question

如何证明一组向量中的任何一个向量都可由这组向量的极大无关组表示？大神给个过程，谢谢

Answer 1

设一个向量组有a1，a2，a3……an那个向量

为了方便，不妨设这个向量组的极大无关组为a1，a2，……ar（r≤n）
1、很明显a1，a2，……ar中的任何一个向量都能用a1，a2，……ar线性表示（自己这个向量的系数为1，其他向量的系数为0即可）
2、然后假设am不是a1，a2，……ar中的向量
根据极大无关组的定义，则a1，a2，……ar，am线性相关。
所以必然存在一组不全为0的系数k1，k2，k3……kr，km，使得
k1a1+k2a2+k3a3+……krar+kmam=0成立
因为a1，a2，……ar线性无关，所以km≠0
因为如果km=0，那么k1，k2，k3……kr中至少一个不为0
那么k1a1+k2a2+k3a3+……krar+kmam=k1a1+k2a2+k3a3+……krar+0=0
这和a1，a2，……ar线性无关矛盾，所以km≠0
那么kmam=-（k1a1+k2a2+k3a3+……krar）
所以am=-（k1a1+k2a2+k3a3+……krar）/km
即am可以用a1，a2，……ar线性表示。

综合1；2可知，向量组中的任何一个向量，都能用极大无关组中的向量线性表示