请牛人解一道高中数学题,要详细解法
rt,以下为题目:设二次函数f(x)=ax²+bx+c(a,b,c∈r)满足以下条件:①x∈r时,f(x)的最小值为为0,且f(x-1)=f(-x-1)成立;②...
rt,以下为题目:
设二次函数f(x)=ax²+bx+c(a,b,c∈r)满足以下条件:
①x∈r时,f(x)的最小值为为0,且f(x-1)=f(-x-1)成立;
②当x∈(0,5)时x≤f(x)≤2|x-1|+1恒成立。
(1)求f(1)的值
(2)求f(x)的解析式
(3)求最大实数m(m>1)使得存在实数t,当x∈[1,m]有f(x+t)≤x成立
我的qq:774054117 展开
设二次函数f(x)=ax²+bx+c(a,b,c∈r)满足以下条件:
①x∈r时,f(x)的最小值为为0,且f(x-1)=f(-x-1)成立;
②当x∈(0,5)时x≤f(x)≤2|x-1|+1恒成立。
(1)求f(1)的值
(2)求f(x)的解析式
(3)求最大实数m(m>1)使得存在实数t,当x∈[1,m]有f(x+t)≤x成立
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f(x)的最小值为为0,所以顶点在x轴上,⊿=b²-4ac=0
因f(x-1)=f(-x-1)
所以对称轴为x=-1,顶点为(-1,0),f(x)=a(x+1)²
当x∈(0,5)时x≤f(x)≤2|x-1|+1恒成立。
令x=1得1≤f(1)≤1
故f(1)=1
代入解析式得a=1/4
所以f(x)=(1/4)(x+1)²
因存在t∈R,只要x∈[1,m],就有f(x+t)≤x.取x=1有f(t+1)≤1.
即(1/4)(t+1+1)²≤1,解得-4≤t≤0.对t∈〔-4,0〕,取x=m,有f(t+m)≤m,即(1/4)(t+m+1)²≤m,化简有m²+2(t-1)m+ (t+1)²≤0
解得1-t-2√-t≤m≤1-t+2√-t
于是有m≤1-t+2√-t≤1-(-4)+ 2√-(-4)=9.当t=-4时,对任意的x∈[1,9],恒有f(x-4)-x=(1/4)(x2-10x+9)=1/4(x-1)(x-9)≤0.所以m的最大值为9。
因f(x-1)=f(-x-1)
所以对称轴为x=-1,顶点为(-1,0),f(x)=a(x+1)²
当x∈(0,5)时x≤f(x)≤2|x-1|+1恒成立。
令x=1得1≤f(1)≤1
故f(1)=1
代入解析式得a=1/4
所以f(x)=(1/4)(x+1)²
因存在t∈R,只要x∈[1,m],就有f(x+t)≤x.取x=1有f(t+1)≤1.
即(1/4)(t+1+1)²≤1,解得-4≤t≤0.对t∈〔-4,0〕,取x=m,有f(t+m)≤m,即(1/4)(t+m+1)²≤m,化简有m²+2(t-1)m+ (t+1)²≤0
解得1-t-2√-t≤m≤1-t+2√-t
于是有m≤1-t+2√-t≤1-(-4)+ 2√-(-4)=9.当t=-4时,对任意的x∈[1,9],恒有f(x-4)-x=(1/4)(x2-10x+9)=1/4(x-1)(x-9)≤0.所以m的最大值为9。
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