Question

求助求助..数学立体几何.

三棱锥顶点P在底面的射影O是△ABC的垂心,PA⊥PB.
(1)求证:PA⊥平面PBC
(2)若PA=BC=a,二面角P-BC-A的平面角是60°,求三棱锥A-PBC的体积.

Answer 1

1)O是△ABC的垂心 =>AO⊥BC
AO为PA在面ABC内的投影,由三垂线定理得PA⊥BC
由条件PA⊥PB，可得PA⊥平面PBC

2）AO交BC于D
因为PA⊥平面PBC，所以PD为AD在面PBC内的投影
又AD⊥BC，有三垂线定理得PD⊥BC
所以角PDA即二面角P-BC-A的平面角，角PDA=60°
同时BC⊥面PDA
三棱锥A-PBC的体积=1/3[S(APD)*BC]=1/3*1/2*a*a/√3*a=√3a^3/18