Question

一道初二函数几何题，数学高手进

点A（m,m+1),B(m+3,m-1)都在反比例函数y=k/x的图象上
（1）求m,k的值
（2）如果M为x轴上一点，N为y轴上的一点，以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN的函数表达式
第一问本人已经作出来了，重在回答第二问

Answer 1

补充：
还有一个不需要用到太多知识的方法。

已经知道m=3，k=12，那么A、B坐标分别为(3, 4)、(6, 2)。
设点M、N坐标分别为(x, 0)、(0, y)。
由于平行四边形两条对角线互相平分，即AN的中点也是BN的中点。
AM的中点为((3+x)/2, (4+0)/2)=((3+x)/2, 2)，
BN的中点为((6+0)/2, (2+y)/2)=(3, (2+y)/2)，
两者相等，((3+x)/2, 2)=(3, (2+y)/2)，
所以 (3+x)/2=3, 2=(2+y)/2，
解之，x=3, y=3。
所以M(3, 0)、N(0, 2)，所在直线方程：2x+3y=6。

对于第二问，有一个非常简单的方法。不过需要用到一点向量的知识（向量的定义和两个向量相等的定义），可以借高中课本看一看（初中物理书上只是提了一下矢量概念，没有讲太多）。
设点M、N坐标分别为(x, 0)、(0, y)。
已经知道m=3，k=12，那么A、B坐标分别为(3, 4)、(6, 2)。
A在B点左上方，N也应在M左上方。
由平行四边形的定义：向量AB=向量NM，
向量AB=B-A=(6-3, 2-4)=(3, -2) ，（对应坐标相减）
向量NM=M-N=(x-0, 0-y)=(x, -y)，
所以 (3, -2)=(x, -y)，
所以x=3，y=2。
于是M(3, 0)、N(0, 2)，所在直线方程：2x+3y=6。

Answer 2

1、
y=k/x
K=XY
M(M+1)=(m-1)(M+3)
M²+M=M²+2M-3
M=3
带入
A（3,4）
B（6,2）
K=12

2、
由（1）已经得出：
A(3,4), B(6,2).
过AB的直线斜率为 (2-4)/(6-3)=-2/3
所以可设直线MN的方程为 L: y=-2x/3+b
L与坐标轴的交点分别是 M(3b/2,0), N(0,b).
AN//BM: (4-b)/3=2/(6-3b/2), 解得b=2 或 b=6（此时AB在L上，舍去）；
AM//BN: 4/(3-3b/2)=(2-b)/6, 解得b=-2 或 b=6（舍去）
Y=-2/3X+2或Y==-2/3X-2。

虽然说用斜率可能有点超，但是是最好的= =

Answer 3

（2）A(3,4),B(6,2)
AB的斜率K1=-2/3
以点A,B,M,N为顶点的四边形是平行四边形
NM的斜率K2=K1=-2/3
设M(m,0),N(0,n)
K2=-n/m=-2/3
|AB|=13^(1/2)=|MN|=(m^2+n^2)^(1/2)
上边两式联立：
m=3 or -3
n=2 or - 2
M(-3,0),N(0,-2)or M(3,0),N(0,2)
直线MN的函数表达式
y=-2(x-3)/3

（1）k=12..m=3
你把A.B两点的坐标代入y=k/x
k/m=m+1 k/m+3=m-1.
解得k=12.m=3

Answer 4

设N（a 0）M（0 b）
AB=NM
a^2+b^2=13
AB与MN平行
b/a=-2/3
解得a=3 b=-2 或 a=-3 b=2