Question

求高人解一道行列式计算题

|a^n (a-1)^n (a-2)^n .... (a-n)^n |
|a^n-1 (a-1)^n-1 (a-2)^n-1.... (a-n)^n-1|
|. . . . . . . |
|a a-1 a-2 .... a-n |
|1 1 1 .... 1 |

Answer 1

如果，这个行列式的

第n+1行变到第1行，
第n行变到第2行，
第n-1行变到第3行，
...
第1行变到第n+1行，

那么，就成为范德蒙行列式啦，
范德蒙行列式的求值法是《线性代数》教材中的例子，有现成的结果可以用。

注意在对这个行列式进行

第n+1行变到第1行，
第n行变到第2行，
第n-1行变到第3行，
...
第1行变到第n+1行，

的时候，根据行列式的性质，符号应该是：

（-1）的n次方*（-1）的n-1次方*（-1）的n-2次方*...*（-1）。

而换行后的范德蒙行列式=
=(a-n-a)(a-n+1-a)...(a-1-a)*
*(a-n-a+1)(a-n+1-a+1)...(a-2-a+1)*
*...*
*(-1)
=（-1）的n次方n!*（-1）的n-1次方(n-1)!*...*(-1)1!，

从而，原行列式=n!*(n-1)!*(n-2)!*...*1!。