Question

线性代数问题。请问为什么R(A)≤R(B)

Answer 1

【解答】
因为矩阵A与矩阵B相似，那么
①trA=trB
-2+x+1=-1+2+y → x=y+2
②|A|=|B|
-2x+4=-2y → x=y+2 （与①相同，条件不够解答x，y值）
③特征值相同，2是A的特征值 （选择-1也可以，方法一样）
|2E-A| = 0 → -4x = 0
解方程组①③，得x=0，y=-2

【评注】
矩阵A与矩阵B相似，有如下结论：
1、矩阵A与矩阵B的迹相似，trA=trB
2、矩阵A与矩阵B的特征值相同。 λA=λB ，即特征多项式相同 |λE-A|=|λE-B|
3、矩阵A与矩阵B的行列式值相同。|A|=|B|

Answer 2

R（AB）≤R（A)
R(AB)≤R(B)

Answer 3

用a表示阿法用b表示贝塔:
由最大线性无关组的定义可知,A和B中每一列向量都可由其线性无关组线性表出:
a(i)=s1*a(1)+s2*a(2)+.+sp*a(p);b(i)=t1*b(1)+t2*b(2)+.+tq*b(q);
故友a(i)+b(i)=s1*a(1)+s2*a(2)+.+sp*a(p)+t1*b(1)+t2*b(2)+.+tq*b(q).那么说明A+B中
的每一列向量均可由a(1),a(2).a(p),b(1),b(2).b(q)线性表出,因此A+B的秩必然小于或等于
a(1),a(2).a(p),b(1),b(2).b(q)的秩.