Question

第53题高等数学证明题

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Answer 1

解：由题意可知，对任意x均有|f(x)|<=|e^x -1|
则，|f（x）/e^x -1|<=1
x趋于0时，两边同时取极限有：|lim f(x)/e^x -1|<=1
即：lim|【a1ln（1+x）+a2ln（1+2x）+......+an ln（1+nx）】/e^x -1|<=1
即：此处有两种方法处理上面式子：1、若学过泰勒公式了，将ln（1+x）=x+O(x) 、ln（1+2x）=2x+O(2x) 、.......ln（1+nx)=nx+O(nx) 将这些式子带进原来不等式，再用洛必达分子分母各求导即有：|a1+2a2+3a3+......+nan|<=1
2、还未学到泰勒公式，那就把上式子的分子拆开来一项一项求极限，再洛必达，同样可得答案。