Question

已知函数f(x)=lnx+a/x，a∈R，且函数f(x)在x=1处的切线平行于直线2x-y=0。 （1）实数a的值；

已知函数f(x)=lnx+a/x，a∈R，且函数f(x)在x=1处的切线平行于直线2x-y=0。

（1）实数a的值；

（2）若在[1,e](e=2.718……)上存在一点x0，使得x0+1/x0<mf(x0)成立，求实数m的取值范围。

Answer 1

答案（1）f(x)的定义域为(0,+∞)， ......1分
因为f’(x)=1/x-a/x2，函数f(x)在x=1处的切线平行于直线2x-y=0，所以f’(1)=1-a=2，所以a=-1。 ......4分
（2）若在[1,e](e=2.718……)上存在一点x0，使得x0+1/x0<mf(x0)成立，构造函数h(x)=x+1/x-mf(x)=x+1/x-mlnx+m/x在[1,e]上的最小值小于零。H’(x)=1-1/x2-m/x-m/x2=(x+1)(x-m-1)/x2， ......6分
①当m+1≥e时，即m≥e-1时，h(x)在[1,e]上单调递减， ......8分
所以h(x)的最小值为h(e)，由h(e)=e+(1+m)/e-m<0可得m>(e2+1)/(e-1)，因为(e2+1)/(e-1)>e-1，所以m>(e2+1)/(e-1)； ......10分
②当m+1≤1，即m≤0时，h(x)在[1,e]上单调递增，所以h(x)的最小值为h(1)，由h(1)=1+1+m<0可得m<-2； ......11分
③当1<m+1<e，即0<m<e-1时，可得h(x)的最小值为h(1+m)，因为0<ln(1+m)<1，所以0<mln(1+m)<m，h(1+m)=2+m-mln(1+m)>2，此时，h(1+m)<0不成立。
综上所述:可得所求m的范围是：m>(e2+1)/(e-1)或m<-2。 ......12分