Question

已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点,点B为抛物线的焦点,P在抛物线上且满足|PA|=m|PB|,

已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点,点B为抛物线的焦点,P在抛物线上且满足|PA|=m|PB|,当m取最大值时,点P恰好在以A,B为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为( )

Answer 1

A.
答案：C
解:过P作准线的垂线,垂足为N,
则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|,
∵|PA|=m|PB|,∴|PA|=m|PN|，1/m=|PN|/|PA|
设PA的倾斜角为α,则sinα=1/m,
当m取得最大值时,sinα最小,此时直线PA与抛物线相切,
设直线PM的方程为y=kx-1,代入x2=4y,可得x2=4(kx-1),即x2-4kx+4=0,
∴△=16k2-16=0， k=±1，P(2,2√2)
双曲线的实轴长为PA-PB=2(√2-1)
双曲线的离心率为2/2(√2-1)=√2+1.
所以C选项是正确的.
解析
过P作准线的垂线,垂足为N,则由抛物线的定义,结合|PA|=m|PB|,可得1/m=|PN|/|PA|,设PA的倾斜角为α,则当m取得最大值时,sinα最小,此时直线PA与抛物线相切,求出P的坐标,利用双曲线的定义,即可得出结论.