Question

如图，求解题过程

Answer 1

lim(x->0) [ √(1+2sinx) -x-1 ] / [ x.ln(1+x)]
有理化分子
={ lim(x->0) [ (1+2sinx) -(x+1)^2 ] / [ x.ln(1+x)] } .lim(x->0) { 1/[ √(1+2sinx) +(x+1) ] }
=(1/2) lim(x->0) [ -x^2 -2x +2sinx ] / [ x.ln(1+x)]
x->0
分子
sinx~ x
-x^2 -2x +2sinx ~ -x^2
分母

x.ln(1+x) ~ x^2
lim(x->0) [ √(1+2sinx) -x-1 ] / [ x.ln(1+x)]
=(1/2) lim(x->0) [ -x^2 -2x +2sinx ] / [ x.ln(1+x)]
=(1/2) lim(x->0) [ -x^2 ] / [ x^2]
=-1/2

追问

分子1+2sinx为什么等价于1+[2x-(1/3)x^3]?