Question

若函数f(x)=(x+a)(bx+2a) (常数a,b属于实数）是偶函数，且它的值域为（负无穷大,4]

求该函数的解析式f(x). 希望您能帮忙解答一下！

Answer 1

f(x)=(x+a)(bx+2a)
=bx^2+abx+2ax+2a^2
=bx^2+(ab+2a)x+2a^2
因为f(x)为偶函数，所以ab+2a=0
a(b+2)=0
a=0或b=-2
1)a=0时，f(x)=bx^2,它的值域不可能为(-∞,4],所以a≠0
2)b=-2时，f(x)=-2x^2+2a^2,
x=0时，其最大值为2a^2,因为它的值域为（-∞,4]，
所以2a^2=4
a=±根号2
所以f(x)=-2x^2+4

Answer 2

f(x)=bx^2+(ab+2a)x+2a^2
因为是偶函数，所以ab+2a=0
以为它的值域为（负无穷大,4]，所以2a^2=4，而且b为负
所以a=根号2 b=-2或
a=负根号2 b=-2