Question

函数的一道题

已知定义在R上的函数y=f(x)满足的条件：对于任意x y属于R，f(x+y)=f(x)+f(y).若当x大于等于0时，f(x)小于0

1.试判断函数f(x)在R上的单调性，并证明。
2.判断方程：绝对值f(x)=a所有可能的解的个数，并求出对应的a的范围。

Answer 1

令a>b
所以f（a）=f（b+a-b）=f（b）+f(a-b)
由于a-b>0
所以f（a-b）<0
所以f（a）<f(b)
所以f（x）单调减函数

f（0+0）=f（0）+f（0）
所以f（0）=0
又由f（x-x）=f（x）+f(-x)
即f（x）+f(-x)=0
所以f（x）是奇函数
所以|f（x）|是偶函数

由f（x）单调减、f（0）=0
自己画图|f（x）|
很容易知道
a小于0时无解
a等于0时一个解
a大于0时2个解