Question

函数周期性

已知定义在R上的奇函数FX满足,F(X-4)=-F(X),且在区间[0，2]上市增函数，若方程F（X）=M在区间[-8，8]上有四个不同的根，则四根之和为？
答案是-8我想要图像准确的画法,以及为什么这么画 我会画图像但是不知道什么[4,6]和[-4,-6]时图像是负的,脑子有点短路了阿 M>0
0

Answer 1

刚好做过

好像是-8

你先画出 [0，2]上的图像，往上的就行

对称画出-2，0的，也是往上，再根据周期性

画图就可以 

因为定义在R上的奇函数Fx满足f(x-4)=-f(x),所以f(x-4)=f(-x），所以函数图像关于直线x=-2且由对称F(0)=0。因为f(x-4)=-f(x),所以f(x-8)=f(x),所以函数是以8为周期的周期函数。又因为f(x)在区间-2,0和0,2上都是增函数

所以如图

那么方程F(x)=m在区间-8,8上有四个根

设x1小于x2小于x3小于x4

那么由于对称所以x1+x2=-12

x3+x4=4

所以

x1+x2+x3+x4=-8

Answer 2

解：已知定义在R上的奇函数为F(X)，所以F(X)=-F(-X)
且在区间[0，2]上市增函数,所以在[-2,0]上为增函数，

若M＞0,
因为F(X)=-F(X-4),
F(-2-X)=-F(2+X)=F(-2+X)
所以，F(X)关于X=-2对称，
在区间[-8，8]上有四个不同的根,
四根之和=-2*4=-8,

综上所述，四根之和为-8

问题补充回答：
F(X)为奇函数，F(X)=-F(-X),所以，F(0)=0
F(X)在区间[0，2]上市增函数,所以[0，2]上F(X)≥F(0)=0
若X∈[4,6],则X-4∈[0,2],
F(X)=-F(X-4)≤0,

Answer 3

M>0才是-8，M<0是8

Answer 4

应该是0吧