求证tanα/2·tanβ/2=(1-e)/(1+e)
设P是椭圆上除长轴端点外的任意一点,F1,F2是焦点,e是离心率设∠PF1F2=α,∠PF2F1=β,求证:tanα/2·tanβ/2=(1-e)/(1+e)...
设P是椭圆上除长轴端点外的任意一点,F1,F2是焦点,e是离心率
设∠PF1F2=α,∠PF2F1=β,求证:tanα/2·tanβ/2=(1-e)/(1+e) 展开
设∠PF1F2=α,∠PF2F1=β,求证:tanα/2·tanβ/2=(1-e)/(1+e) 展开
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1.对结论进行结构分析.
∵ tg(α/2)•tg(β/2)=(1-e)/(1+e)
� e=cos[(α+β)/2]/cos[(α-β)/2]
� (c/a)=[cos(α+β)/2]/[cos(α-β)/2)],
于是只需对△F1PF2用正弦定理:
(|PF1|/sinβ)=(|PF2|/sinα)=|F1F2|/(sin(α+β)).
再由等比定理知2c/[sin(α+β)]
=(|PF1|+|PF2|)/(sinα+sinβ)=2a/(sinα+sinβ).
∴ (c/a)=sin(α+β)/(sinα+sinβ)=〔cos(α+β)/2〕/〔cos�(α-β)/2〕.(这步分式上面用了二倍角公式,下边用和差化积)
结论得证.
2.或者用几何代数相结合地方法,做这个焦点三角形的内切圆,设圆心为O连接F1O,F2O,角OF1F2,角OF2F1,不就是内个α/2,β/2,设内切圆半径是r,切F1F2于点D,DF1=m,DF2=n,tg(α/2)•tg(β/2)=r^2/mn,三角形F1F2P面积是(a+c)r它又等于c|y|(y是P点纵坐标)这样r=c|y|/(a+c)
接下来处理内个mn,因为m+n=2c,m-n=PF1-PF2=(a+ex)-(a-ex)=2ex(焦半径公式)由这两个式子可知mn=c^2-e^2x^2,这样 tg(α/2)•tg(β/2)就等于一个只含有a.b.c.x.y(e=c/a)的式子,又因为p(x,y)在椭圆上,满足椭圆方程,就把y用x表示,再代入只含有a.b.c.x.y(e=c/a)的式子约分后得到一个很完美的式子(a-c)/(a+c)这个正好是(1-e)/(1+e)得证
第三种方法,可以使用纯几何学方法证明,角全部转化为边,但这种方法太麻烦,而且并不能体现出解析几何的用途与美感,所以我就不个哦你证了哈,你要有兴趣就自己试试吧!回答完毕
∵ tg(α/2)•tg(β/2)=(1-e)/(1+e)
� e=cos[(α+β)/2]/cos[(α-β)/2]
� (c/a)=[cos(α+β)/2]/[cos(α-β)/2)],
于是只需对△F1PF2用正弦定理:
(|PF1|/sinβ)=(|PF2|/sinα)=|F1F2|/(sin(α+β)).
再由等比定理知2c/[sin(α+β)]
=(|PF1|+|PF2|)/(sinα+sinβ)=2a/(sinα+sinβ).
∴ (c/a)=sin(α+β)/(sinα+sinβ)=〔cos(α+β)/2〕/〔cos�(α-β)/2〕.(这步分式上面用了二倍角公式,下边用和差化积)
结论得证.
2.或者用几何代数相结合地方法,做这个焦点三角形的内切圆,设圆心为O连接F1O,F2O,角OF1F2,角OF2F1,不就是内个α/2,β/2,设内切圆半径是r,切F1F2于点D,DF1=m,DF2=n,tg(α/2)•tg(β/2)=r^2/mn,三角形F1F2P面积是(a+c)r它又等于c|y|(y是P点纵坐标)这样r=c|y|/(a+c)
接下来处理内个mn,因为m+n=2c,m-n=PF1-PF2=(a+ex)-(a-ex)=2ex(焦半径公式)由这两个式子可知mn=c^2-e^2x^2,这样 tg(α/2)•tg(β/2)就等于一个只含有a.b.c.x.y(e=c/a)的式子,又因为p(x,y)在椭圆上,满足椭圆方程,就把y用x表示,再代入只含有a.b.c.x.y(e=c/a)的式子约分后得到一个很完美的式子(a-c)/(a+c)这个正好是(1-e)/(1+e)得证
第三种方法,可以使用纯几何学方法证明,角全部转化为边,但这种方法太麻烦,而且并不能体现出解析几何的用途与美感,所以我就不个哦你证了哈,你要有兴趣就自己试试吧!回答完毕
参考资料: 看我这麽努力,给加点分好不,嘿嘿!
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证:
在△PF1F2中,|F1F2|=2c,|PF1|+|PF2|=2a
由正弦定理
2c/sin(α+β)=|PF1|/sinβ=|PF2|/sinα=2a/(sinα+sinβ)
所以e=c/a=sin(α+β)/(sinα+sinβ)=[cs(α+β)/2]/[cs(α-β)/2]
所以(1-e)/(1+e)=[2sinα/2sinβ/2]/[2cosα/2cosβ/2]=tanα/2·tanβ/2
楼上是人才,过程再详细点就好了
在△PF1F2中,|F1F2|=2c,|PF1|+|PF2|=2a
由正弦定理
2c/sin(α+β)=|PF1|/sinβ=|PF2|/sinα=2a/(sinα+sinβ)
所以e=c/a=sin(α+β)/(sinα+sinβ)=[cs(α+β)/2]/[cs(α-β)/2]
所以(1-e)/(1+e)=[2sinα/2sinβ/2]/[2cosα/2cosβ/2]=tanα/2·tanβ/2
楼上是人才,过程再详细点就好了
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