Question

初三一道数学几何题

请各位帮帮忙。在三角形ABC中，已知P为BC边垂直平分线上一点，且角PBG等于二分之一角A，BP、CP分别交AC、AB于D、E。求证：BE=CD
https://gss0.baidu.com/7LsWdDW5_xN3otqbppnN2DJv/wrxggo123/pic/item/7d1bca26a0c934b2d6cae233.jpg

Answer 1

作PG与AB交于点Q，连接QC，QC与BD交与点R

∵PG垂直平分BC， 

∴所以PB=PC，∠PBC=∠PCB=∠A/2

 ∴∠DPC=2∠PBC=∠A 

又∵∠DCP=∠ECA 

∴∠AEC=180°-∠A-∠ECA=180°-∠DPC-∠DCP=∠PDC 

∴△CEA∽△CDP 同理△BDA∽△BEP 

∵∠PBC=∠PCB ∠PGB=∠PGC=90°

 ∴∠BPG=∠CPG 

∴∠QPR=∠BPG=∠CPG=∠QPE

 又∵QP=QP，∠PQE=PQR 

∴△QEP≌△QRP 

∴∠AEC=∠QEP=∠QRP=∠DRC

 又∵△CEA∽△CDP 

∴∠AEC=∠CDP 

∴∠CDP=∠DRC 

∴CR=CD 

∵BE=CR 

∴BE=CD