高数求数列极限
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设f(x)=lnarctanx，在[n,n+1]上连续可导
则根据拉格朗日中值定理，存在k∈(n,n+1)，使得f'(k)=[f(n+1)-f(n)]/(n+1-n)=f(n+1)-f(n)
1/(1+k^2)arctank=lnarctan(n+1)-lnarctann
因为当n->∞时，根据极限的敛迫性，k->∞，arctank->π/2
所以原式=(2/π)*lim(n->∞) n^2/(1+k^2)
因为n^2/[1+(n+1)^2]<n^2/(1+k^2)<n^2/(1+n^2)
且lim(n->∞)n^2/[1+(n+1)^2]=lim(n->∞)n^2/(1+n^2)=1
所以根据极限的敛迫性，lim(n->∞) n^2/(1+k^2)=1
即原式=2/π
则根据拉格朗日中值定理，存在k∈(n,n+1)，使得f'(k)=[f(n+1)-f(n)]/(n+1-n)=f(n+1)-f(n)
1/(1+k^2)arctank=lnarctan(n+1)-lnarctann
因为当n->∞时，根据极限的敛迫性，k->∞，arctank->π/2
所以原式=(2/π)*lim(n->∞) n^2/(1+k^2)
因为n^2/[1+(n+1)^2]<n^2/(1+k^2)<n^2/(1+n^2)
且lim(n->∞)n^2/[1+(n+1)^2]=lim(n->∞)n^2/(1+n^2)=1
所以根据极限的敛迫性，lim(n->∞) n^2/(1+k^2)=1
即原式=2/π
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