Question

代数证明题

若p，q为奇数，求证：
方程x^2+px+q=0
（1）不可能有等根
（2）不可能有整根

Answer 1

第一题：
假设有等根
则△=p^2-4q=0
因为p和q为奇数，
左边=p^2-4q=奇数
右边=0=偶数
这与△=0矛盾，
所以不可能有等根

第二题
假设有整数根x1和x2，则
x1+x2=-p.....①
x1x2=q.......②
由②q是奇数，所以x1和x2都是奇数
带入①得p是奇数，与题目已知矛盾
所以不可能有整根

Answer 2

因为△=p²-4q,而p²是奇数，4q是偶数，所以△≠0，所以不可能有等根。
设有根为x1、x2,则x1+x2=-p,x1x2=q，即两根之和与两根之积都是奇数，假设是两个整数根，分析如下：若两根为两个奇数，则和为偶数，若一偶一奇，则积为偶数，这与上面的式子矛盾，所以不能是整数