Question

初三二次函数解析式问题

1.已知抛物线y＝x²＋px＋q与x轴只有一个公共点，坐标为（-2,0），求此抛物线的解析式。
2.设二次函数y＝ax²＋bx＋c，当x＝4时取得最大值16，且它的图像在x轴上截得的线段长4，求其解析式。

Answer 1

1、
只有一交点即方程只有一个解
判别式b²-4ac=0 代入
p²-4q=0

p²=4q ①
把给出的坐标代入方程得
0=4-2p+q ②

①-②×4得:
4q-16+8p-4q=p²-0
8p-16=p²
p²-8p+16=0
解得p=4

则由上关系知 q=4

所以抛物线解析式是 y=x²+4x+4

2、
即知道顶点坐标是 (4,16)
即对称轴为 x=4
它图像在x轴上截得长为4 , 由图像对称性知 与x轴两交点分别是
(2,0) (6,0)
用顶点式求解析式 y=a(x+h)²+k 代入
0=a(2-4)²+16
得a=-4
则
y=-4(x-4)²+16

所以解析式为 y=-4(x-4)²+16

Answer 2

（1）只有一个公共点，坐标为（-2,0），
说明顶点坐标为（-2，0）
a=1，则y=（x+2）²=x²+4x+4
（2）x＝4时取得最大值16，说明顶点坐标为（4，16）
对称轴为x=4，
图像在x轴上截得的线段长4，说明与x轴交点（2，0）（6，0）
设y=a（x-4）²+16带入（2，0）
a=-4，y=-4（x-4）²+16=-4x²+32x-48

Answer 3

1.
x²＋px＋q＝0只有一个实根，△=p²-4q=0
且(-2)²-2p＋q=0
所以p=4,q=4
解析式为y＝x²＋4x＋4

2.
有最大值，说明抛物线开口向下，即a<0，且顶点为(4,16)
顶点坐标(-b/(2a),(-b²+4ac)/4a)
故有：
-b/(2a)=4
(-b²+4ac)/4a=16
|x2-x1|=4=√(b²-4ac)/a

联立以上三式，可得：
a=-4
b=32
c=-48
方程为： y＝-4x²＋32x-48

Answer 4

第一个是Y=x²＋4x+4