Question

用圆、平行四边形和中位线证明垂心定理(垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍)

用圆、平行四边形和中位线证明垂心定理(垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍)老师讲垂心定理的时候，说可以这么证，但没详细讲。自己画图证明时却不知道怎么证明四边形AHBE是平行四边形。求证法。

Answer 1

简单分析一下，答案如图所示

Answer 2

解：∵H为垂心
∴AH⊥BC
∵CE为直径
∴∠EBC=90°
即EB⊥BC
∴AH∥EB
同理，BH⊥AC，EA⊥AC，∴AE∥BH
∴AEBH是平行四边形
∴AH=BE
又OD⊥BC，O为外心
∴BD=CD
∵OE=OC
∴OD为△EBC的中位线
∴OD=1/2EB=1/2AH
即AH=2OD
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