Question

高等数学题目。，

高等数学题目。，20题

Answer 1

原方程化为：
（1-(cosx)^2)cosx=1/4
(cosx)^3 -cosx +1/4=0
因为x∈[0,π]，则：cosx∈[-1,1]，而且在∈[0,π]区间，cosx为单调函数，
为方便表示，我们把以上方程中的cosx用x来替代，得到：
x^3-x+1/4=0，其中x∈[-1,1]
我们只需研究这个方程的实跟数就可以了。
令f(x)=x^3-x+1/4
则：f'(x)=2x^2-1
当f'(x)=0，得到x=√2/2，以及x=-√2/2
所以，当x∈[-1,-√2/2]，f(x)单调递增，而f(-1)=1/4>0, 所以，在这个区间方程无实数根。
当x∈[-√2/2,√2/2]，f(x)单调递减，而f(-√2/2)=(1+√2)/4>0，f(√2/2)=(1-√2)/4<0，所以，在这个区间方程有一个实数跟。
当x∈[√2/2,1]，f(x)单调递增，而f(1)=1/4>0，所以，在这个区间方程有一个实数跟。
所以，方程x^3-x+1/4=0，在区间x∈[-1,1]有两个实根。
也就是，方程(cosx)^2 sinx=1/4，在区间x∈[0,π]有两个实根。