Question

计算二重积分，为什么在极坐标系里和在直角坐标系里算出的结果不一样？

直角坐标系里的答案是2减根号2，但我在极坐标系里算出来的答案是2/3，为什么两个答案不一样。请帮忙写出在极坐标系里的计算过程。
本人的极坐标系下的做法

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Answer 1

你第二步根号少写了

Answer 2

在[π/4,3π/4]中，cosθ可正可负，
[(cosθ)^2]^(3/2)≠(cosθ)^3,
应把积分限改为[π/4，π/2],前面乘以2.

追问

非常感谢你的回答。
但是我还想额外的问一下，利用对称性不是直角坐标系的解题技巧吗？为什么极坐标系也能用，你是怎样判断[π/4，π/2]乘以2就是答案的。

Answer 3

因为这道题用极坐标做太复杂了，你做错是因为在极坐标里r是变量，R也就是题目中的1是常量，你不能将函数直接变成x再变成rcos

Answer 4

根号(1-y^2)=根号(1-r^2cosa) 估计很难算吧

追答

根号(1-r^2sin^2a)
拿错了嘿嘿