Question

高中数学题：设sinθ+cosθ=√2/3,π/2<θ<π,求sinθ^3+cosθ^3及tanθ-cotθ

sinθ^3是sinθ的3次

Answer 1

由sinθ+cosθ=√2/3，平方后整理得sinθ*cosθ=-7/18，
(sinθ-cosθ)^2=(sinθ+cosθ)^2-4sinθ*cosθ=16/9,
π/2<θ<π,则sinθ>0,cosθ<0,故sinθ-cosθ=4/3,
所以sinθ^3+cosθ^3=(sinθ+cosθ)*(sinθ^2+cosθ^2-sinθ*cosθ)
=√2/3*(1+7/18)=25√2/54；
tanθ-cotθ=sinθ/cosθ-cosθ/sinθ
=(sinθ^2-cosθ^2)/(sinθ*cosθ)
=(sinθ+cosθ)*(sinθ-cosθ)/(sinθ*cosθ)
=(√2/3)*(4/3)/(-7/18)
=-8√2/7.

Answer 2

不好意思：sinθ^3是什么意思？θ的3次？还是sinθ的3次，或者θ的3倍？还是sinθ的3倍？我看太明白。
关于tanθ-cotθ：
有题目可以知道：sinθ+cosθ=√2/3,π/2<θ<π,由此可以知道：sinθ-cosθ>0;因为sinθ+cosθ=√2/3,所以（sinθ+cosθ）^2次=2/9；又因为（sinθ）^2次+（cosθ）^2次=1，所以可以知道：2sinθcosθ=-7/9；（sinθ-cosθ）^2次=1-2sinθcosθ=16/9，所以sinθ-cosθ=4/3，对这个式子左右同时除以sinθcosθ就可以得到tanθ-cotθ=-7/24
关于sinθ^3+cosθ^3：
sinθ^3+cosθ^3=（sinθ+cosθ）*（（sinθ）^2次+（cosθ）^2次-sinθcosθ）=√2*25/54

Answer 3

sinθ+cosθ=√2/3,（1）
两边平方，
1+sin2θ=2/9，
sin2θ=-7/9，
（1）两边立方，
(sinθ)^3+(cosθ)^3+3sinθcosθ(sinθ+cosθ)=2√2/27,
(sinθ)^3+(cosθ)^3+3*(-7/9)/2*√2/3=2√2/27,
(sinθ)^3+(cosθ)^3=25√2/54.
sin2θ=-7/9,
sinθcosθ=-7/18
cosθ<0,
1-sin2θ=16/9,
sinθ-cosθ=4/3,
两边同除以sinθcosθ
tanθ-cotθ=(4/3)/(-7/18)
=24/7.

Answer 4

sinθ+cosθ=√2/3,
（sinθ+cosθ）^2次=2/9,
（sinθ）^2次+（cosθ）^2次=1，2sinθcosθ=-7/9；

sinθ^3+cosθ^3=(sinθ^2+cosθ^2)(sinθ+cosθ)-sinθcosθ(sinθ+cosθ)==√2/3-(-√2/18)*=√2/3==25√2/54,
；（sinθ-cosθ）^2次=1-2sinθcosθ=16/9，所以sinθ-cosθ=4/3，左右同时除以sinθcosθ
tanθ-cotθ=-7/24